对于表面积分 \(\iint_{\Gamma}\left(\frac{1}{2} \sigma u^2-g u\right) \mathrm{d} s\)，我们可以使用高斯公式将其转化为三重积分。

首先，根据高斯公式，我们有：

\[\iint_{\Gamma} F(x, y, z) \cdot dS = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot F \, dV\]

其中，\(F(x, y, z) = \left(\frac{1}{2} \sigma u^2-g u\right)\), \(\Omega\) 表示曲面 \(\Gamma\) 围成的区域。

然后，根据高斯公式进行展开和计算，我们可以将曲面积分转化为对应的三重积分。这个过程需要进行适当的坐标变换和参数化以便正确计算出对应的三重积分。

通过高斯公式的转化，我们可以将表面积分转换为体积积分，从而更好地处理原始的变分问题或者边值问题。